Jo Boalers främsta syfte att skriva denna bok är hennes önskan att förbättra barnens upplevelse av matematik i klassrummet – att få bort rädsla och leda och ersätta detta med entusiasm och intresse. I boken beskrivs framgångar från sommarskolan, en skola som hon drev några veckor tillsammans med sina doktorander. Eleverna fick lära sig att använda sig av matematik på ett flexibelt sätt, de fick arbeta mer som matematiker arbetar, dvs med att lösa långa och komplicerade problemställningar som innebär att man behöver kombinera många olika områden inom matematiken. En annan anledning till att sommarskolan blev lyckad var att eleverna fick matematikuppgifter som både intresserade dem och utmanade dem samt att de fick både arbeta på egen hand och tillsammans med andra.

Jo Boaler kritiserar standadiserade provsystem med flervalsfrågor som bara ger en bild av var eleverna befinner sig. Hon framhäver istället bedömning för lärande , vars utgångspunkt är hur lärandet kan förbättras. Hon beskriver också det angeläga behovet av att skapa problemlösningsaktiviteter som på riktigt engagerar eleverna. Hon menar att större delen av de problemuppgifter som ges till elever är tråkiga och inte alls bundna till verkligheten, och absolut inte barns och tonåringars verklighet. Hon betonar vikten av att lärare måste låta elever arbeta mycket mer med gemensam problemlösning än vad de får göra idag. Detta gör elever engagerade i sitt lärande och lär sig på ett effektivt sätt att förmedla sina synpunkter på hur de ska kunna lösa uppgifterna. Elever måste få uppgifter som intresserar och utmanar dem poch de måste få tillåtelse att ägna en del av varje lektion att prata med varandra och utbyta idéer om matematik.

Det råder ett extremt stort behov på arbetsmarknaden av matematiska problemlösare. Men vilken sorts matematik behövs? Ray Peakock, tidigare forskningschef på Phillips Laboratories i Storbrittandien menar att de egenskaper som behövs på en högteknologisk arbetsplats idag är flexibilitet, teamwork, kommunikation och uthållighet. Detta är ledorden för arbetets och livets matematik. Och skolutvecklingen måste komma ikapp utvecklingen så lärare kan förbereda ungdomar för deras framtida liv. Den matematik som människor behöver är inte den som lärs ut i de flesta klassrum. Julie Gainsburg gjorde en studie på byggnadsingenjörer och fann att även om de använde matematik mycket i sitt arbete så använde de inte de vanliga metoderna och tillvägagångssätten. Ingenjörerna behövde för det mesta att kunna tolka det problem de blivit ombedda att lösa (ex att rita en parkeringsplats) och skapa en förenklad modell på vilken de kunde tillämpa matematiska metoder. De valde sedan ut och anpassade metoder som kunde tillämpas på deras modeller, gjorde beräkningar (med hjälp av olika framställningssätt – diagram, ord, ekvationer, bilder och tabeller – under arbetets gång) och bestyrkte och kommunicerade sina metoder och resultat. På det sättet arbetar ingenjörerna med flexibel problemlösning genom att anpassa och använda matematiken. Jean Lave, professor vid University of California i Berkeley, fann att människor som är ute och handlar använder sig av sina egna metoder för att räkna ut vilka erbjudanden som är de bästa, utan att använda några formella metoder som de lärt sig i skolan. Man fann vid studier att bantare använde informella metoder som de hittade på när de behövde räkna ut portionsstorlekar. En bantare som exempelvis fick veta att han kunde äta 3/4 av 1,5 dl keso utförde inte standardalgoritmerna för att multiplicera bråken. Istället tömde han ut 1,5 dl keso på en skärbräda, formade den till en cirkel, ritade upp ett kors på den och tog bort en fjärdedel, vilket resulterade i att han hade 3/4 kvar av den. Lave ger många exempel på att människor från sina olika studier på människor som använder informella metoder, istället för att använda sig av de metoder de lärt sig i skolan. Boaler menar att vi i skolan måste börja träna eleverna mer i flexibelt tänkande i problemlösning i skolan.

Reuben Hersh, filosof och matematiker, har skrivit en bok med titeln ”What is Mathematics, Really?” där han utforskar matematikens sanna natur. Han framför en viktig iakttagelse: människor tycker inte om matematik för att de fått en snedvriden bild av den i skolan. Matematik borde visas upp som en mänsklig aktivitet, ett socialt fenomen, en uppsättning metoder som används för att göra världen mer begriplig. I Dan Browns succébok The Da Vinci Code (2009) introducerar författaren läsarna för den ”gudomliga proportionen”, ett förhållande som även kallas för den grekiska bokstaven fi. Denna proportion upptäcktes år 1212 när Leonardo Pisano, mer känd som Fibonacci, ställde en fråga om kaniners parningsbetéende. Han lade fram följande matematiska problem: ”En man placerade ett kaninpar på en plats omgiven av en mur. Hur många kaninpar kan det här paret ge upphov till på ett år om man antar att varje par föder ett nytt par som blir fertila från och med sin andra levnadsmånad?” Den sekvens av kaninpar, som numera kallas Fibonaccisekvensen, som blev svaret lyder 1,1,2,3,5,8,13… I den här talsekvensen delas varje tal med det föregående talet, vilket ger en proportion som kommer närmare och närmare 1,618, som också kallas för fi eller gyllene snittet. Vad som är så fantastiskt med den här proportionen är att den finns överallt i naturen. När blomsterfrön växer i spiraler växer de enligt proportionen 1.618. Proportionerna i spiraler, snäckor, kottar och ananas är exakt desamma. Titta noga på bilder så kan du räkna spiraler och mönster. Märkligt nog har måtten på den mänskliga kroppen exakt samma proportioner. Den här proportionen tycks vara så behaglig för ögat att den förekommer överallt i konsten och arkitekturen och framhävs till exempel särskilt i FN-huset och pyramiderna i Egypten. Undersökningar visar att de flesta som studerar matematik på högstadiet och gymnasiet inte vet att de här proportionerna existerar. Matematiken borde belysa sådana relationer som återfinns i former och i naturen. Det är ett verkningsfullt sätt att uttrycka förhållanden och idéer i numeriska, grafiska, symboliska, verbala och bildmässiga former. Detta är matematikens förundransvärda värld som förnekas många barn. W.W Sawyers uttrycker i hans bok ”Prelude to mathematics” sin syn på matematik; ”Matematik handlar om att studera och klassificera alla olika slags mönster… En fågel känner igen de svarta och gula ränderna hos en geting, en människa ser att en planta växer fram ur jorden som ett resultat av att man sått ett frö. I båda fallen är det fråga om en medveten varelse som uppfattar mönster”.

Vad gör en matematiker egentligen? En tydlig skillnad mellan matematikers och skolbarns arbete är att matematiker arbetar med långa och komplicerade problemställningar som innebär att man behöver kunna många områden inom matematiken. Det finns många skäl till att det är viktigt att arbeta med långa och komplicerade uppgifter i skolan – varav ett är att uppmuntra uthållighet, en egenskap som är oerhört betydelsefull för unga människor att tillägna sig och som de har stor nytta av i livet och arbetslivet. Matematiker betonar också vikten av träna sig i att gissa på matematiklektioner, alltså uppskatta. Det man behöver för att kunna gissa är en god känsla om tal, dessa är själva kärnan i problemlösning. Matematiker menar också att vi i skolan måste träna eleverna på att gå från svar till en fråga, mycket mer än tvärtom, för så arbetar matematiker på riktigt. Matematik är något man utför, en levande handling, ett sätt att tolka världen. Föreställ dig musiklektioner där eleverna arbetade sig igenom hundratals timmar med noter, arrangerade om noterna på sidorna, fick bockar eller kryss från lärarna men aldrig spelade musiken. Eleverna skulle troligen inte vilja fortsätta med ämnet eftersom de aldrig fick uppleva vad musik är. Ändå är det så situationen är, och fortsätter vara, i den traditionella matematikundervisningen.

Matematik lär man sig genom att räkna, lösa problem och genom att samtala. Många elever får försöka lära sig matematik genom att lyssna och tänka. Ett stort problem är att elever ofta får lösa problem helt utan verklighetsanknytning vilket gör matematik svårbegripligt och verklighetsfrämmande för eleverna, vilket i sin tur leder till att eleverna tappar intresset. Den här frågan från ett nationellt prov i USA är ett exempel på när eleverna lär sig att bortse från sammanhanget och bara arbeta med talen; ”En armébuss rymmer 36 soldater. Om 1128 soldater ska bussas till sitt utbildningsläger, hur många bussar behövs det?” Det vanligaste svaret från eleverna var 31, rest 12 – ett meningslöst svar när det handlar om hur många bussar man behövde. Elever behöver lära sig tänka rimligt och förnuftigt. Elever behöver lära sig att matematik är en slags kommunikation, eller ett språk. I grupparbeten ska elever veta att alla har olika starka sidor och att alla har något viktigt att bidra med.

Något som utmärker sig hos elever som har svårt för matematik är att de har svårt att se mönster, förstå samband och generaliseringar. Lärare har en oerhört viktig uppgift i att skapa aktiviteter och problem som ger elever många olika möjligheter att kunna vara och bli framgångsrika. Matematiklektionerna ska handla mycket om att lära eleverna att tolka, förstå och samtala kring varför det fungerar och varför något inte fungerar. Ett framgångsrikt arbetssätt är det projektbaserade arbetssättet. I stället för att lära ut procedurer som elever sedan ska öva sig på så ger läraren eleverna projekt som kräver matematiska metoder att arbeta med. En lektion kan då inledas med att alla elever får samlas vid tavlan. Läraren presenterar problemet. Efter en liten stunds diskussion om problemet får eleverna återgå till sina bänkar och arbeta med problemet, själva eller tillsammans, vilket de själva föredrar. Under klassens arbete uppkommer problem, så läraren får berätta och hjälpa så eleverna kommer vidare i sina beräkningar. På så sätt lär sig eleverna procedurer och metoder i ett levande och meningsfullt sammanhang.

Bedömning för lärande bygger på principen att eleverna bör ha en fullständig och tydlig bild av vad de lär sig, var de befinner sig på vägen mot målet och vad de behöver göra för att lyckas med det. Eleverna får den kunskap och de redskap de behöver för att bli självstyrande i sitt lärande. På de flesta matematiklektioner har eleverna ingen aning. Om de får frågan om vad de gör, så är det vanliga svaret ”nummer 3” eller vilket kapitel de är på, men ingenting om vad det är i matematiken de ska lära sig. Första delen av bedömning för lärande handlar om att kommunicera om vad det är man lär sig och vart eleverna är på väg. Man använder sig här av en process av självbedömning och kamratbedömning. Lärarna sätter upp matematiska mål för eleverna med tydliga påståenden så eleverna kan förstå dem. När målen gås igenom och repeteras och genom att eleverna bedömer sina kunskaper i förhållande till påståendena så blir eleverna mer och mer medvetna om vad de ska lära sig. När elever bedömer varandras prestationer blir de ombedda att bedöma dem i förhållande till tydliga kriterier. Det här har visat sig vara mycket effektivt, delvis för att eleverna ofta har lättare för att ta emot kritik från klasskamrater än från en lärare och klasskamrater brukar ofta kommunicera på ett enkelt och lättförståeligt sätt. Ett sätt att hantera kamratbedömning är ”två stjärnor och en önskan”. Den andra delen i bedömning för lärande handlar om att få de enskilda eleverna medvetna om var de befinner sig på vägen mot framgång. Trafikljuset är en framgångsrik metod att dels få elever att reflektera över sitt eget lärande, dels för att läraren kan få tillfälle att be någon som är på grönt att förklara (i stället för läraren själv) samt för att läraren i realtid får en överblick över förståelsen i klassrummet. En vanlig metod är att de elever som är på grönt och gult efter en genomgång arbetar vidare och de som är på rött får ny genomgång av läraren. Den tredje delen handlar om att ge dem tydliga råd om hur de kan bli mer framgångsrika. Man vet nu, efter mycket forskning, att diagnostiserad, kommentarbaserad feedback främjar lärande, och sådan feedback borde vara normen för hur man rapporterar om elevers framsteg. Lärare måste lära sig att kommentera fel – ge specifika förslag om hur de ska kunna bli bättre. Undersökningar har visat att de elever som får konstruktiv kritik lär sig dubbelt så fort jämfört med de elever som får poäng.

Forskarna finner genomgående att den viktigaste faktorn att lyckas i skolan är vad de kallar för ”möjlighet att lära”. Om elever inte får möjlighet att lära sig svåra och utmanande saker, presterar de inte heller på en hög nivå. I Japan, som är ett av de mest framgångsrika länder i världen i matematik, förväntas inte alla elever lära sig samma saker varje lektion. I stället serveras de svåra matematikuppgifter och varje elev får ut så mycket av dem som hen kan. Varje elev lär sig mer genom att vara tvungen att kämpa med matematikuppgifterna, än att bli serverade enkla, lättsmälta lösningssätt.

Forskarna har nu funnit att män och kvinnor använder olika områden i hjärnan för att lösa problem. Man har funnit att en av anledningarna till att flickor tidigare tappar intresset och inte förstår matematiken är att de vill veta VARFÖR vissa metoder fungerar och hur de hänger samman med andra metoder – och inte får det i sin matematikundervisning. Forskning visar att för pojkar räcker det att komma fram till ett svar, de har oftast inte samma behov av att förstå varför. Det har också visat sig att många pojkar tycker att det är roligt att tävla mot andra och att komma först. Det har under senare år blivit en framväxande forskning om skillnader i hjärnan hos män och kvinnor. Louann Brizendine, neuropsykiatriker och författare till boken ”The female brain” (2008) förklarar att den nya tekniken för hjärnskanning har gjort det möjligt för forskarna att dokumentera ”ett förvånansvärt stort antal strukturella, kemiska, genetiska, hormonella och funktionella olikheter mellan mäns och kvinnors hjärnor”. Ett flertal intressanta slutsatser av forskningen presenteras i ”Elefanten i klassrummet”. En viktig slutsats är iallafall att flickor och kvinnor överlag har en naturlig fallenhet för kommunikation och för att skapa samband. Flickor ogillar matematik för att de vill ägna sig mer åt kommunikation. Alltså på det sätt som matematikundervisning BÖR ske.

Människor som är bra i matematik delar upp och sätter samman tal hela tiden. Det här är en strategi som forskarna kallar ”härleda talfakta” eftersom eleverna förändrade talen till sådana som de visste svaret på. Det forskarna vet är att de elever som är lågpresterande, inte lär sig samma saker i matematiken långsammare – de lär sig en annan slags svårare matematik, utan mönster och samband. Forskarna fann också att när de lågpresterande eleverna misslyckades med sina metoder, förändrade de inte dem, utan återgick bara till att räkna ännu mer på samma sätt. För de lågpresterande eleverna var matematiken som en hög stege med regler och ständigt nya procedurer att lära in, utan samband med varandra.

Elever som ställer frågor presterar ofta bäst. Därför ska man som lärare uppmuntra elever till att ställa frågor. När eleverna ställer bra frågor – skriv upp dem på stora pappersark i klassrummet. Lär eleverna att resonera genom att bli ombedda att förklara sina matematiska påståenden och försvara sina svar. Be alltid eleverna att förklara varför de tycker att svaret verkar rimligt. Lär eleverna att alltid visa problemet/uträkningen genom bilder, grafer, praktiskt material. Visuella framställningar är ofta avgörande för förståelsen. I alla uppgifter ska man uppmuntra en flexibel användning av tal. Be eleverna att först arbeta individuellt utan papper och penna. Läraren skriver en uppgift på tavlan, ex 18*5, och ber eleverna att räkna ut svaret i huvudet. Läraren ber eleverna att signalera diskret med tummen när de fått fram ett svar. Skriv sedan upp de olika metoderna eleverna använt sig av på tavlan och synliggör/uppmuntra att dela upp och sätta samman tal.

Under de flesta lektioner arbetar eleverna i grupper eller två och två. I alla övningar uppmuntras eleverna att ställa frågor, att göra visuella framställningar, att resonera, generalisera, tänka igenom och berätta om olika metoder. Läraren ska ägna mycket tid till att berömma eleverna när deras tänkande och arbete varit bra. Visa eleverna att du ser på dem som ”mattemänniskor”.

När en elev kört fast och behöver hjälp, inled med frågan ”vad tror du att du ska göra?” Be eleven komma med idéer och fråga ”varför tror du det?, hur kom du fram till det?” Då tränar de sig på att resonera. En framgångsrik metod att lösa ett problem är att tänka på ett liknande, lättare. Lär eleverna det. Och lär eleverna att alltid rita hur de tänker. Lär eleverna att vara välorganiserade och strukturerade i sin problemlösning. Man har funnit att lågpresterande elever inte är det. Strategier för problemlösning i kombination med matematiska metoder är av största betydelse för att nå framgång i matematikundervisningen.

Några bra frågor att använda när du arbetar med eleverna är: Hur tänkte du om uppgiften? Vad var första steget? Vad gjorde du sedan? Varför gjorde du på det sättet? Kan du tänka dig ett annat sätt att lösa uppgiften på? Vilka likheter finns det mellan de här två sätten? Vad kan du förändra i uppgiften föra att göra den lättare?